Trang chủ

Trao đổi học tập

Các dạng toán tham khảo
Ngày đăng 18/10/2012 | 12:00 | Lượt xem: 479

1.       Dạng 5: Bài toán về đa thức

5.1. Tìm số dư của đa thức

           Số dư của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức (x-a) là r =f(a)

           Thường dùng hai cách để tìm đa thức dư

              *) Cách nhẩm nghiện của đa thức chia (dùng khi đa thức chia có nghiệm)

 *) Cách biến đổi đa thức bị chia về dạng thích hợp (dùng khi đa thức chia vô      nghiệm

           5.2. Tìm điều kiện để đa thức chia hết

           Để đa thức f(x) chia hết cho đa thức nào đó thì số dư phải bằng 0 (m = -f(a))

            Tính giá trị của đa thức

Viết đa thức dưới dạng tích của nhiều nhị thức thích hợp rồi thay giá trị của biến vào để tìm các hệ số

            Xác định đa thức

Bài 26: Tìm số dư của phép chia

           a)

          

Giải 26: a) r = 2403   ;               b)  r = -46   ;                c)  r =

Bài 27: Cho đa thức P(x) = x5+2x4-3x3+4x2-5x+m

a)       Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x-2,5 khi m = 2003

b)      Tìm giá trị của m để đa thức P(x) chia hết cho x-2,5

c)       Muốn P(x) có nghiệm x = 2 thì m phải có giá trị bằng bao nhiêu

Giải 27:a) r = P(2,5) = 2144,40625

              b)  m = -P(2,5)= -141,40625

              c) P(2) = 0

Bài 28: Cho đa thức Q(x)= x4+mx3+nx2+px+q. Biết Q(1)=5; Q(2)=7; Q(3)=9;Q(4)=11

Tính Q(10) ; Q(11);  Q(12) ;  Q(13)

Giải 28:

           Q(x)=  

           Q(1)=D=5

           Q(2)=C+D=7 C=2

           Q(3)=2B+2C+D=9 B=0

           Q(4)=6A+6B+3C+D=11 A=0

           Q(x)=x4-10x3+35x2-48x+27

           Q(10)=3047

           Q(11)=5065

           Q(12)= 7947

           Q(13)= 11909

Bài 29: Tìm giá trị của m biết giá trị của đa thức f(x) = x4 –2x3 + 5x2 + (m – 3)x +

2m – 5 tại x = -2,5 là 0,49

Giải 29:   f(-2,5)-0,49 =0 mx+2m= -103,5725 m=207,145

Bài 30: a/ Tìm dư khi chia đa thức x100 – 2x51 + 1 cho x2 – 1

              b/ Tìm dư khi chia đa thức x100 – 2x51 + 1 cho x2 + 1

Giải 30:a) Ta có: f(x)=x100-2x51+1=(x2-1).q(x)+ax+b

                         f(1)=0=a+b

                         f(-1)=4=-a+b b=2  ;  a = -2. Vậy dư là : -2x+2

               b) Ta có f(x)=(x100+x2)-(2x51+2x)-(x2+1)+(2x+2)

              f(x)=x2(x98+1)-2x(x50+1)-(x2+1)+(2x+2)

              Vì : x2(x98+1) (x2+1)    ;      2x(x50+1)  (x2+1)    ;       (x2+1) (x2+1). Và

                       (2x+2) chia cho (x2+1) dư là : 2x+2

   Vậy dư là : 2x+2

Bài 31:  Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d với P(1) = 1988; P(2) = 10031; P(3) =

46062; P(4) = 118073. Tính P(5)

Giải 31:P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+A(x-1)(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-2)+C(x-1)+D

            P(1)=D=1988

            P(2)=C+D=10031 C=8043

            P(3)=2B+2C+D=46062 B=13994

            P(4)=6A+6B+3C+D=118073  A=1332

            P(5)= 234080

Bài 32: Cho đa thức P(x) = 6x5 + ax4 + bx3 + x2 + cx + 450, biết đa thức P(x) chia hết cho các đa thức x – 2; x – 3; x – 5. Hãy tìm a, b, c và các nghiệm của P(x).

Giải 32:P(2)=192+16a+8b+4+2c+450=0 c+4b+8a=-323

P(3)=1458+81a+27b+9+3c+450=0 c+9b+27a=-639

P(5)=18750+625a+125b+25+5c+450=0 c+25b+125a=-3845

Kết quả : a = -59 ; b = 161 ; c = -495

Ta có: P(x)=(x-2)(x-3)(x-5)(mx2+nx+q) m = 6 ; n= 1 ; q = -15

P(x)=(x-2)(x-3)(x-5)(6x2+x-15)= )=(x-2)(x-3)(x-5)(3x+5)(2x-3)

Vậy nghiệm của P(x) là:x= 2; 3 ;5 ; ;

Bài 33:  Cho đa thức  P(x) = x4 + ax3 + cx2 + dx + e. Biết P(1) = –1; P(2) = 3; P(3)

= 13; P(4) = 29.

a) Tính P(–1), P(25), P(30), P(222)

b) Tìm dư khi chia P(x) cho 5x – 3

Giải 33:P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+A(x-1)(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-2)+C(x-1)+D

               P(1)=D= -1

               P(2)=C+D=3 C= 4

               P(3)=2B+2C+D=13 B=3

               P(4)=6A+6B+3C+D=29 A=0

            a)P(-1)=120

               P(25)=256775

               P(30)=572575

               P(222)=2321362783

            b)r = 3,6496

Bài 34: Cho đa thức  P(x) = 3x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 144503. Biết P(–1) = 4;

P(–2) = 19; P(–3) = 44; P(–4) = 79

a) Tính P(–29), P(29), P(–74), P(74), P(234)

b) Tìm dư khi chia P(x) cho x2 + 5x + 6

Giải 34:P(x)=3x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+A(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+B(x+1)(x+2)(x+3)+

   C(x+1)(x+2)+D(x+1)+E

   P(-1)=E=4

               P(-2)=-D+E =19  D = -15

               P(-3)=2C-2D+E =44 C = 5

               P(-4)=-6B+6C-3D+E=79 B = 0

               P(0)=24A+6B+2C+D+E=144503 A=6021

               P(x)=3x5+6051x4+60315x3+210890x2+301122x+144503

               P(-29)=2915971804

               P(29)=5998548829

               P(-74)=151483386559

               P(74)=213723848973

               P(234)=21031404931259

Bài 35: Tìm m ; n ; p sao cho đa thức f(x)=x5+2,734152x4-3,251437x3+mx2+nx+p chia hết cho đa thức g(x)=(x2-4)(x+3)

Giải 35:P(2)=0=32+43,746436-26,011496+4m+2n+p 4m+2n+p=-49,73494

  P(-2)=0=-32+43,746436+26,011496+4m-2n+p 4m+2n+p=-37,757932

  P(-3)=0=-243+221,466312+87,788799+9m-3n+p 9m-3n+p=-66,255111

  m=-6,2982862  ;  n=-2,994252  ;  p=-18,5532912

Bài 36:   Xác định a và b sao cho đa thức P(x)=ax4+bx3+1 chia hết cho đa thức Q(x)=(x-1)2  

Giải 36: Để P(x) chia hết cho (x-1)2 thì P(x) phải chia hết cho x-1. Ta có

              P(x)=(x-1)(mx3+nx2+px+q) = mx4+(n-m)x3+(p-n)x2+(q-p)x-q

              q = -1 ; p = -1 ; n = -1. Vậy P(x) = (x-1)(mx3-x2-x-1) = (x-1).Q(x)

              Để P(x) chia hết cho x-1 thì Q(x) phải chia hết cho x-1 hay Q(1)=0  m = 3

              Vậy a = 3 ; b = -4

Bài 37: Cho hai đa thức P(x)=x4+5x3-4x2+3x+m và Q(x)=x4+4x3-3x2+2x+n

a)       Tìm các giá trị của m và n để P(x) và Q(x) chia hết cho x-2

b)      Hãy chứng tỏ đa thức R(x)=P(x)-Q(x) có một nghiệm duy nhất với giá trị của

m và n vừa tìm được

Giải 37: a) Để P(x) chia hết cho x-2 thì P(2)=0

                  Để Q(x) chia hết cho x-2 thì Q(2)=0

     b)  Ta có R(x)=x3-x2+x-6. Vì P(x) và Q(x) đều chia hết cho x-2 nên R(x) cũng chia hết cho x-2. Do đó ta có R(x)=x3-x2+x-6 = (x-2)(x2+x+3).

 với . Suy ra R(x) chỉ có một nghiệm duy nhất

Bài 38: Tìm số dư trong phép chia: x14-x9-x5+x4+x2+x+723 cho: x-1,624

Giải 38: r = 85,92136979

Bài 39: Tìm số dư trong phép chia: x5-7,834x3+7,581x2-4,568x+3,194 cho: x-2,652

              Tìm hệ số của x2 trong đa thức thương của phép chia trên

Giải 39:   r = 29,45947997  ;   B2 = -0,800896

Bài 40: Với giá trị nào của a và b thì đa thức f(x)=x4-3x3+3x2+ax+b chia hết cho đa thức g(x)=x2-3x+4

Giải 40: Ta có: f(x) = x2(x2-3x+4)-(x2-ax-b)

               Vì : x2(x2-3x+4) g(x) nên f(x) g(x) khi (x2-ax-b) g(x). Suy ra a = 3 ; b = -4

Bài 41: Cho đa thức: Q(x)=x3+ax2+bx+c

           a)Tìm các hệ số a, b, c biết khi chia Q(x) lần lượt cho (x-1,2) ; (x-2,5) ; (x-3,7) thì được dư theo thứ tự là 1994,728 ; 2060,625 ; 2173,653

b)Tìm số dư r khi chia Q(x) cho(2x+5)

c)Tìm x khi Q(x) có giá trị bằng 1989

Giải 41:a) Q(x) = (x-1,2)(x-2,5)(x-3,7)+M(x-1,2)(x-2,5)+N(x-1,2)+P

                 Q(1,2) = P = 1994,728

                   Q(2,5) = N(2,5-1,2)+1994,728 = 2060,625

                   Q(3,7)=M(3,7-1,2)(3,7-2,5)+50,69(3,7-1,2)+1994,728=2173,653

                

               b)           r = 2014,375

               c)            x1=-9,531128874  ;  x2 = 1  ;  x3 = -1,468871126

Bài 42: a) cho đa thức P(x)=x5+ax4+bx3+cx2+dx+132005. Biết rằng P(1)=8 ; P(2)=11 ; P(3)=14 ; P(4)=17. Tính P(11) ; P(12) ; P(14) và P(15)

             b) Cho hai đa thức : F(x)=1+x+x9+x25+x49+x81 và G(x)=x3-x. Tìm đa thức dư R(x) trong phép chia F(x) cho G(x) và tính R(701,04)

Giải 42:a) P(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+5500(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+3(x-1)+8

P(11)=22775478 ; P(12)=95081 ; P(14)=240287 ; P(15)=360410

             b) F(x)= G(x).Q(x)+R(x)=G(x).Q(x)+ax2+bx+c

F(0)=1 ; F(-1)=-4 ; F(1)=6 R(0)=c=1 ; R(1)=6=a+b+c ; R(-1)=-4=a-b+c

a=0; b=5; c=1 R(x)=5x+1

 

I KIẾN THỨC CẦN VẬN DỤNG TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐA THỨC :

 

Định lý  Bezout : " Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức  x – a   là f(a) "

Hệ quả :     Nếu f(a) = 0  , đa thức  f(x) chia hết cho nhị thức x – a

9 Dư trong phép chia đa thức f(x) cho (ax + b)  là f

9 Nếu đa thức  P(x) = anxn + an-1xn-1 +….+a1x + a0  ( n ä N)  cú n nghiệm x1 , x2 …xn  thỡ  đa thức P(x) phân tích được thành nhân tử :   P(x) = a(x – x1)(x – x2) ….(x – xn-1)(x – xn)

 

II BÀI TẬP :

 

Bài 1 : Tỡm m để đa thức f(x) =  4x4 – 5x3 + m2 x2 – mx – 80   chia hết cho x – 2

 

Giải :  Đặt g(x) = 4x4 – 5x3 – 80 ta cú f(x) = g(x) +mx2 – mx

f(x) ? (x – 2 ) Û f(2) = 0  hay  g(2) +4m2 – 2 x = 0

Ta cú g(2) = –56 Þ f(2) = 0  khi 4m2 – 2m = 56 Û 4m2 – 2x – 56 = 0

Giải phương trỡnh  ẩn m , ta được m1 = 4 và m2 = –3,5

Nghĩa là hai đa thức f1(x) = 4x4 – 5x3 + 16 x2 – 8x – 80 và f2(x) = 4x4 – 5x3 + 12,25 x2 +3,5 x – 80 đều chia hết cho x – 2

Bài tập tương tự :

Cho đa thức f(x) = x5 – 3x4 +5 x3 – m2x2 + mx  + 861  . Tỡm m để f(x) ? (x + 3)

KQ  :  

Bài 2:    

 Tỡm a và b sao cho hai đa thức

 f(x) = 4x3 – 3x2 + 2x + 2a + 3b     

 g(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x –3a  + 2b          cựng chia hết cho (x – 3)

 

Giải:      f(x) , và g(x) cựng chia hết cho (x – 3) khi và chỉ khi  f(3) = g(3) = 0

Đặt  A(x) = 4x3 – 3x2 + 2x  và B(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x

Ta cú f(x) = A(x) + 2a + 3b

          g(x)=B(x) –3a +2b

f(3) = A(3) + 2a + 3b = 87 +2a + 3b  Þ f(3) = 0  Û 2a + 3b = –87

g(3) = B(3) –3a + 2b  = 318–3a +2b  Þ g(3) = 0 Û –3a +2b  = –318

Ta có hệ phương trỡnh :

Vào MODE EQN gọi chương trỡnh giải hệ phương trỡnh bậc nhất hai ẩn ta được nghiệm

( x = 60 ; y = –69) hay a = 60 , b = –69 .

Bài tập tương tự :

Tỡm m và n để hai đa thức  P(x) và Q (x) cựng chia hết cho (x +4 )

    P(x)  = 4x4– 3x3 + 2x2 – x +2m – 3n

    Q(x) = 5x5 – 7x4 + 9x3 – 11x2 + 13x – 3m + 2n    (m = –4128,8   ; n = –2335,2)

Bài 3 :

Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 105x2 + 514x – 304

9 Nếu khụng cú sự hổ trợ của MTBT thỡ việc phõn tớch đa thức trên thành nhân tử là 1 bài toán khó

Giải:  Ấn  Nhập  a = 105 , b = 514 , c = –304 

Tỡm được nghiệm của đa thức trên :

Vậy đa thức 105x2 + 514x – 304 được phõn tớch thành

Bài tập tương tự :

 Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) 65x2 + 4122x +61093

b) 299 x2 – 2004x + 3337

c) 156x3 – 413 x2 – 504 x+ 1265

Bài 4 :

Cho đa thức x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e   .

Biết f(0) = 1 , f(1) = –2 , f(2) = –3 , f(3) = –2   ; f(4) = 1   .  Tớnh f(100)

Giải : 

Rừ ràng nếu ta thế 0,1,2,3,4, chỉ xỏc định hệ số tự do , việc cũn lại là giải hệ phương trỡnh bậc nhất 4 ẩn mà mỏy CASIO khụng thể giải quyết được . Giải bằng tay thỡ rất vất vả . Bài toán này có thể giải quyết như sau :

9 Xét đa thức phụ k(x) = x2 – 4x + 1

Ta cú : k(0) = 1 ; k(1) = –2 ; k(2) = –3 ; k(3) = –2 ; k(4) = 1

Đặt g(x) = f(x) – k(x)

Ta cú :   g(0) = f(0) – k(0) = 0

 g(1) = f(1) – k(1) = 0

 g(2) = f(2) – k(2) = 0

 g(3) = f(3) – k(3) = 0 

 g(4) = f(4) – k(4) = 0

Từ đó suy ra 0,1,2,3,4 là nghiệm của g(x)

Mặt khác g(x) là đa thức bậc 5 (Cùng bậc với f(x) vỡ k(x) là bậc 2 mà g(x) = f(x) – k(x)  ) và cú hệ số cao nhất là là 1

Từ đó suy ra  g(x) phân tích được thành nhân tử :

g(x) = (x – 0)(x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)

  g(x) = f(x) – k(x) Þ f(x) = g(x) + k(x)

Vậy f(x) = x .(x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)  +x2 –4x + 1

Þf(100) = 9034512001

9 Vấn đề ở đây là làm sao tỡm được đa thức phụ k(x) ?

Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và cho gỏn cho k(x) nhận cỏc giỏ trị k(1) = 1  k(2) = –3 , k(3) = –2

(nhận 3 trong 5 giá trị của f(x) đó cho)

ta có hệ phương trỡnh :  

nhập cỏc hệ số vào mỏy tỡm được nghiệm a = 1 , b = –4 , c = 1

Þ k(x) = x2 – 4x + 1 . Thử tiếp thấy k(0) = 1 và k(4) = 1

Vậy k(x) = x2 – 4x + 1 là đa thức phụ cần tỡm . Tất nhiến khi thử k(0) ≠ 1 hoặc k(4) ≠ 1  thỡ buộc phải tỡm cỏch giải khỏc .

Bài tập tương tự :

a) Cho đa thức P(x) = x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx + e . Biết P(1) = 1 ; P(2) = 4 ; P(3) = 9 ; P(4) = 16 ;

    P(5) = 25 . Tớnh cỏc giỏ trị của P(6) ; P(7) , P(8) , P(9)

b) Cho đa thức Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q và biết Q(1) = 5 , Q(2) = 7 , Q(3) = 9 Q(4) =11

    Tớnh cỏc giỏ trị Q(10) , Q(11) Q(12) , Q(13)

c) Cho đa thức  f(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e

     Biết f(1) = –1 ; f(2) = –1 ; f(3) = 1 ; f(4) = 5  ; f(5) = 11 . Hóy tớnh f(15) f(16) f(18,25)

d) Cho đa thức f(x) = 2x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx + e . Biết f(1) = 1 f(2) = 3 f(3) = 7 f(4) 13 f(5) = 21

  Tớnh f(34,567)

Bài 5:

Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005

Biết P(1) = 8 , P(2) = 11 , P(3) = 14 , P(4) = 17 Tớnh P(15)

Giải :

 Xét đa thức phụ Q(x) = 3x + 5

Ta cú Q(1) = 8 ; Q(2) = 11 ; Q(3) = 14  ; Q(4) = 17

Đặt k(x) = P(x) – Q(x)

Ta cú k(1) = k(2) = k(3) = k(4) = 0   hay  k(x) cú 4 nghiệm là 1 , 2 , 3 , 4 .

Lời bỡnh :

Tới đây , làm như bài 5 thỡ …trật lất bởi vỡ  k(x)  phải là đa thức bậc 5 mà ta mới chỉ tỡm được có 4 nghiệm !!. Bài toán này quá hay !

Đa thức k(x) phải có hệ số cao nhất  là hệ số cao nhất của f(x) nên k(x) được phân tích thành nhân tử như sau  k(x) = (x + J) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) . Vấn đề cũn lại là tỡm số J như thế nào  ?

Tiếp tục :

Vỡ        k(x) = P(x) – Q(x) Þ P(x) = k(x) + Q(x)

Hay     P(x) = (x + J) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5

Þ Hệ số tự do của P(x)   là J.(–1)(–2).(–3).(–4) + 5 = 132005 hay 24J = 132000

             Þ J = 132000:24 = 5500

Vậy P(x) = (x + 5500)(x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5

Þ P(15) = 132492410

Bài tập tương tự :

Cho đa thức f(x) = 2x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx  + 115197

Biết f(1) = ­–1 , f(2) = 1, f(3) = 3 , f(4) = 5    . Tớnh f(12)   (KQ : 38206101)

Bài 6:

Cho  f(2x – 3) = x3 + 3x2 – 4x + 5

a) Xác định f(x)

b) Tớnh f(2,33)

Giải:

a) Đặt t = 2x – 3 Þ   

Þ f(t) =

Þf(x)

b)f(2,33)

Qui trỡnh ấn phớm :

 KQ : 34,57410463

Bài 7

Cho đa thức P(x) =

a) Tớnh f(–4) , f(–3) , f(–2) , f(–1) ,f(0) , f(1) , f(2) ,f(3) , f(4)

b) Chứng minh rằng với mọi xä Z thỡ P(x) nhận giỏ trị nguyờn .

 

Giải :

a) Cõu a thật ra là gợi ý để giải câu b .

Dễ dàng tính được f(–4) = f(–3) = f(–2) = f(–1) = f(0) = f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = 0

b) Suy ra  –4 ,–3 , –2 ,–1 , 0 , 1 , 2, 3 , 4 là 9 nghiệm của của P(x)

Þ P(x) được phân tích thành nhân tử như sau :

P(x) =  (x – 4)(x – 3) (x – 2 (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 )

Với x äZ thỡ (x – 4)(x – 3) (x – 2 (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 ) là 9 số nguyờn liờn tiếp

Tong đó có ít nhân 1 số chia hết cho 2 , 1 số chia hết cho 5 1 số chia hết cho 7 và 1 số chia hết cho 9

  Đặt A = (x – 4)(x – 3) (x – 2 (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 )

 Vỡ  ƯCLN(2,5) = 1 Þ A ? 10

       ƯCLN(7,9) = 1Þ A ? 63

       ƯCLN(10 ,63) = 1  Þ A ? 630

Þ  là một số nguyờn   hay P(x) luụn nhận giỏ trị nguyờn với mọi x äZ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dạng 5: Bài toán về đa thức

5.1. Tìm số dư của đa thức Số dư của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức (x-a) là r =f(a)

           Thường dùng hai cách để tìm đa thức dư

              *) Cách nhẩm nghiện của đa thức chia (dùng khi đa thức chia có nghiệm)

 *) Cách biến đổi đa thức bị chia về dạng thích hợp (dùng khi đa thức chia vô      nghiệm

           5.2. Tìm điều kiện để đa thức chia hết: Để đa thức f(x) chia hết cho đa thức nào đó thì số dư phải bằng 0 (m = -f(a)).Tính giá trị của đa thức

Viết đa thức dưới dạng tích của nhiều nhị thức thích hợp rồi thay giá trị của biến vào để tìm các hệ số

            Xác định đa thức

Bài 26: Tìm số dư của phép chia

           a)

          

Bài 27: Cho đa thức P(x) = x5+2x4-3x3+4x2-5x+m

d)      Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x-2,5 khi m = 2003

e)       Tìm giá trị của m để đa thức P(x) chia hết cho x-2,5

f)        Muốn P(x) có nghiệm x = 2 thì m phải có giá trị bằng bao nhiêu

Bài 28: Cho đa thức Q(x)= x4+mx3+nx2+px+q. Biết Q(1)=5; Q(2)=7; Q(3)=9;Q(4)=11

Tính Q(10) ; Q(11);  Q(12) ;  Q(13)

Bài 29: Tìm giá trị của m biết giá trị của đa thức f(x) = x4 –2x3 + 5x2 + (m – 3)x +2m – 5 tại x = -2,5 là 0,49

Bài 30: a/ Tìm dư khi chia đa thức x100 – 2x51 + 1 cho x2 – 1

              b/ Tìm dư khi chia đa thức x100 – 2x51 + 1 cho x2 + 1

Bài 31:  Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d với P(1) = 1988; P(2) = 10031; P(3) =46062; P(4) = 118073. Tính P(5)

Bài 32: Cho đa thức P(x) = 6x5 + ax4 + bx3 + x2 + cx + 450, biết đa thức P(x) chia hết cho các đa thức x – 2; x – 3; x – 5. Hãy tìm a, b, c và các nghiệm của P(x).

Bài 33:  Cho đa thức  P(x) = x4 + ax3 + cx2 + dx + e. Biết P(1) = –1; P(2) = 3; P(3)= 13; P(4) = 29.

a) Tính P(–1), P(25), P(30), P(222)

b) Tìm dư khi chia P(x) cho 5x – 3

Bài 34: Cho đa thức  P(x) = 3x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 144503. Biết P(–1) = 4;P(–2) = 19; P(–3) = 44; P(–4) = 79

a) Tính P(–29), P(29), P(–74), P(74), P(234)

b) Tìm dư khi chia P(x) cho x2 + 5x + 6

Bài 35: Tìm m ; n ; p sao cho đa thức f(x)=x5+2,734152x4-3,251437x3+mx2+nx+p chia hết cho đa thức g(x)=(x2-4)(x+3)

Bài 36:   Xác định a và b sao cho đa thức P(x)=ax4+bx3+1 chia hết cho đa thức Q(x)=(x-1)2  

Bài 37: Cho hai đa thức P(x)=x4+5x3-4x2+3x+m và Q(x)=x4+4x3-3x2+2x+n

c)           Tìm các giá trị của m và n để P(x) và Q(x) chia hết cho x-2

d)    Hãy chứng tỏ đa thức R(x)=P(x)-Q(x) có một nghiệm duy nhất với giá trị củam và n vừa tìm được

Bài 38: Tìm số dư trong phép chia: x14-x9-x5+x4+x2+x+723 cho: x-1,624

Bài 39: Tìm số dư trong phép chia: x5-7,834x3+7,581x2-4,568x+3,194 cho: x-2,652

              Tìm hệ số của x2 trong đa thức thương của phép chia trên

Bài 40: Với giá trị nào của a và b thì đa thức f(x)=x4-3x3+3x2+ax+b chia hết cho đa thức g(x)=x2-3x+4

Bài 41: Cho đa thức: Q(x)=x3+ax2+bx+c

           a)Tìm các hệ số a, b, c biết khi chia Q(x) lần lượt cho (x-1,2) ; (x-2,5) ; (x-3,7) thì được dư theo thứ tự là 1994,728 ; 2060,625 ; 2173,653

b)Tìm số dư r khi chia Q(x) cho(2x+5)

c)Tìm x khi Q(x) có giá trị bằng 1989

Bài 42: a) cho đa thức P(x)=x5+ax4+bx3+cx2+dx+132005. Biết rằng P(1)=8 ; P(2)=11 ; P(3)=14 ; P(4)=17. Tính P(11) ; P(12) ; P(14) và P(15)

             b) Cho hai đa thức : F(x)=1+x+x9+x25+x49+x81 và G(x)=x3-x. Tìm đa thức dư R(x) trong phép chia F(x) cho G(x) và tính R(701,04)

 

I KIẾN THỨC CẦN VẬN DỤNG TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐA THỨC :

Định lý  Bezout : " Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức  x – a   là f(a) "

Hệ quả :     Nếu f(a) = 0  , đa thức  f(x) chia hết cho nhị thức x – a

9 Dư trong phép chia đa thức f(x) cho (ax + b)  là f

9 Nếu đa thức  P(x) = anxn + an-1xn-1 +….+a1x + a0  ( n ä N)  cú n nghiệm x1 , x2 …xn  thỡ  đa thức P(x) phân tích được thành nhân tử :   P(x) = a(x – x1)(x – x2) ….(x – xn-1)(x – xn)

 

II BÀI TẬP :

Bài 1 : Tỡm m để đa thức f(x) =  4x4 – 5x3 + m2 x2 – mx – 80   chia hết cho x – 2

Giải :  Đặt g(x) = 4x4 – 5x3 – 80 ta cú f(x) = g(x) +mx2 – mx

f(x) ? (x – 2 ) Û f(2) = 0  hay  g(2) +4m2 – 2 x = 0

Ta cú g(2) = –56 Þ f(2) = 0  khi 4m2 – 2m = 56 Û 4m2 – 2x – 56 = 0

Giải phương trỡnh  ẩn m , ta được m1 = 4 và m2 = –3,5

Nghĩa là hai đa thức f1(x) = 4x4 – 5x3 + 16 x2 – 8x – 80 và f2(x) = 4x4 – 5x3 + 12,25 x2 +3,5 x – 80 đều chia hết cho x – 2

Bài tập tương tự :

Cho đa thức f(x) = x5 – 3x4 +5 x3 – m2x2 + mx  + 861  . Tỡm m để f(x) ? (x + 3)

Bài 2:    

 Tỡm a và b sao cho hai đa thức

 f(x) = 4x3 – 3x2 + 2x + 2a + 3b     

 g(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x –3a  + 2b          cựng chia hết cho (x – 3)

Giải:      f(x) , và g(x) cựng chia hết cho (x – 3) khi và chỉ khi  f(3) = g(3) = 0

Đặt  A(x) = 4x3 – 3x2 + 2x  và B(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x

Ta cú f(x) = A(x) + 2a + 3b

          g(x)=B(x) –3a +2b

f(3) = A(3) + 2a + 3b = 87 +2a + 3b  Þ f(3) = 0  Û 2a + 3b = –87

g(3) = B(3) –3a + 2b  = 318–3a +2b  Þ g(3) = 0 Û –3a +2b  = –318

Ta có hệ phương trỡnh :

Vào MODE EQN gọi chương trỡnh giải hệ phương trỡnh bậc nhất hai ẩn ta được nghiệm

( x = 60 ; y = –69) hay a = 60 , b = –69 .

Bài tập tương tự :

Tỡm m và n để hai đa thức  P(x) và Q (x) cùng chia hết cho (x +4 )

    P(x)  = 4x4– 3x3 + 2x2 – x +2m – 3n

    Q(x) = 5x5 – 7x4 + 9x3 – 11x2 + 13x – 3m + 2n   

Bài 3 :

Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 105x2 + 514x – 304

9 Nếu khụng cú sự hổ trợ của MTBT thỡ việc phõn tớch đa thức trên thành nhân tử là 1 bài toỏn khú

Giải:  Ấn  Nhập  a = 105 , b = 514 , c = –304 

Tỡm được nghiệm của đa thức trên :

Vậy đa thức 105x2 + 514x – 304 được phân tích thành

Bài tập tương tự :

 Phõn tớch đa thức sau thành nhân tử

a) 65x2 + 4122x +61093

b) 299 x2 – 2004x + 3337

c) 156x3 – 413 x2 – 504 x+ 1265

Bài 4 :Cho đa thức x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e   .

Biết f(0) = 1 , f(1) = –2 , f(2) = –3 , f(3) = –2   ; f(4) = 1   .  Tớnh f(100)

Giải : 

Rừ ràng nếu ta thế 0,1,2,3,4, chỉ xỏc định hệ số tự do , việc cũn lại là giải hệ phương trỡnh bậc nhất 4 ẩn mà mỏy CASIO khụng thể giải quyết được . Giải bằng tay thỡ rất vất vả . Bài toỏn này cú thể giải quyết như sau :

9 Xét đa thức phụ k(x) = x2 – 4x + 1

Ta cú : k(0) = 1 ; k(1) = –2 ; k(2) = –3 ; k(3) = –2 ; k(4) = 1

Đặt g(x) = f(x) – k(x)

Ta cú :   g(0) = f(0) – k(0) = 0

 g(1) = f(1) – k(1) = 0

 g(2) = f(2) – k(2) = 0

 g(3) = f(3) – k(3) = 0 

 g(4) = f(4) – k(4) = 0

Từ đó suy ra 0,1,2,3,4 là nghiệm của g(x)

Mặt khác g(x) là đa thức bậc 5 (Cùng bậc với f(x) vỡ k(x) là bậc 2 mà g(x) = f(x) – k(x)  ) và cú hệ số cao nhất là là 1

Từ đó suy ra  g(x) phân tích được thành nhân tử :

g(x) = (x – 0)(x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)

 g(x) = f(x) – k(x) Þ f(x) = g(x) + k(x)

Vậy f(x) = x .(x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)  +x2 –4x + 1

Þf(100) = 9034512001

9 Vấn đề ở đây là làm sao tỡm được đa thức phụ k(x) ?

Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và cho gỏn cho k(x) nhận cỏc giỏ trị k(1) = 1  k(2) = –3 , k(3) = –2

(nhận 3 trong 5 giá trị của f(x) đó cho)

ta có hệ phương trỡnh :  

nhập cỏc hệ số vào mỏy tỡm được nghiệm a = 1 , b = –4 , c = 1

Þ k(x) = x2 – 4x + 1 . Thử tiếp thấy k(0) = 1 và k(4) = 1

Vậy k(x) = x2 – 4x + 1 là đa thức phụ cần tỡm . Tất nhiến khi thử k(0) ≠ 1 hoặc k(4) ≠ 1  thỡ buộc phải tỡm cỏch giải khỏc .

Bài tập tương tự :

a) Cho đa thức P(x) = x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx + e . Biết P(1) = 1 ; P(2) = 4 ; P(3) = 9 ; P(4) = 16 ;   P(5) = 25 . Tớnh cỏc giỏ trị của P(6) ; P(7) , P(8) , P(9)

b) Cho đa thức Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q và biết Q(1) = 5 , Q(2) = 7 , Q(3) = 9 Q(4) =11 . Tớnh cỏc giỏ trị Q(10) , Q(11) Q(12) , Q(13)

c) Cho đa thức  f(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e

     Biết f(1) = –1 ; f(2) = –1 ; f(3) = 1 ; f(4) = 5  ; f(5) = 11 . Hóy tớnh f(15) f(16) f(18,25)

d) Cho đa thức f(x) = 2x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx + e . Biết f(1) = 1 f(2) = 3 f(3) = 7 f(4) 13 f(5) = 21.  Tớnh f(34,567)

Bài 5:Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005

Biết P(1) = 8 , P(2) = 11 , P(3) = 14 , P(4) = 17 Tớnh P(15)

Giải : Xét đa thức phụ Q(x) = 3x + 5

Ta cú Q(1) = 8 ; Q(2) = 11 ; Q(3) = 14  ; Q(4) = 17

Đặt k(x) = P(x) – Q(x)

Ta cú k(1) = k(2) = k(3) = k(4) = 0   hay  k(x) cú 4 nghiệm là 1 , 2 , 3 , 4 .

Lời bỡnh :Tới đây , làm như bài 5 thỡ …trật lất bởi vỡ  k(x)  phải là đa thức bậc 5 mà ta mới chỉ tỡm được có 4 nghiệm !!. Bài toán này quá hay !

Đa thức k(x) phải có hệ số cao nhất  là hệ số cao nhất của f(x) nên k(x) được phân tích thành nhân tử như sau  k(x) = (x + J) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) . Vấn đề cũn lại là tỡm số J như thế nào  ?

Tiếp tục :

Vỡ        k(x) = P(x) – Q(x) Þ P(x) = k(x) + Q(x)

Hay     P(x) = (x + J) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5

Þ Hệ số tự do của P(x)   là J.(–1)(–2).(–3).(–4) + 5 = 132005 hay 24J = 132000

             Þ J = 132000:24 = 5500

Vậy P(x) = (x + 5500)(x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5

Þ P(15) = 132492410

Bài tập tương tự :Cho đa thức f(x) = 2x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx  + 115197

Biết f(1) = ­–1 , f(2) = 1, f(3) = 3 , f(4) = 5    . Tớnh f(12)   (KQ : 38206101)

Bài 6:Cho  f(2x – 3) = x3 + 3x2 – 4x + 5

a) Xác định f(x)

b) Tớnh f(2,33)

Giải: a) Đặt t = 2x – 3 Þ   Þ f(t) =

Þf(x)

b)f(2,33) Qui trỡnh ấn phớm :

 KQ : 34,57410463

Bài 7Cho đa thức P(x) =

a) Tớnh f(–4) , f(–3) , f(–2) , f(–1) ,f(0) , f(1) , f(2) ,f(3) , f(4)

b) Chứng minh rằng với mọi xä Z thỡ P(x) nhận giỏ trị nguyờn .

 

 

 

Không tìm thấy video nào

 

Dự báo thời tiết

Hà Nội
Đà Nẵng
TP Hồ Chí Minh

Thống kê truy cập

Đang online: 1591
Tổng số truy cập: 4186598